1. Ensemble des nombres complexes

Pourquoi ?

Étant donné que certaines équations polynomiales à coefficients réels n’ont pas toujours de solution, on cherche à construire un nouvel ensemble de nombres :

  • contenant tous les nombres réeels,
  • muni de deux opérations prolongeant l’addition et la multiplication des nombres réels et ayant les mêmes  règles de calculs,
  • contenant un élément noté \(i\) tel que \(i^2=-1\),
  • tout nombre \(z\) s’écrive de manière unique \(z=a+ib\) où \(a\) et \(b\) sont des réels.

Un tel ensemble existe, il s’agit de l’ensemble des nombres complexes noté \(\mathbb{C}\).

Vocabulaire et premières propriétés

Définition

Un nombre complexe est un nombre de la forme \(a+ib\), où \(a\) et \(b\) sont deux réels et \(i\) est le nouveau nombre tel que \(i^2=-1\).

Théoreme

On définit un ensemble \(\mathbb{C}\)

  • muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de \(\mathbb{R}\)
  • contenant un nombre \(i\) vérifiant \(i^2=-1\)
  •  tel que chaque élément \(z\) de \(\mathbb{C}\) peut s’écrire de manière unique sous la forme
    \[z=a+ib \quad \mathrm{avec} \; a \; \mathrm{et} \; b \; \mbox{ deux nombres réels}\]

Définition

Cette écriture \(z=a+ib\) unique est appelée \textbf{forme algébrique} du complexe \(z\).

Le nombre réel \(a\) est appelé partie réelle de \(z\)et notée \(Re(z)\)

Le nombre imaginaire \(b\) est appelé partie imaginaire de \(z\) et notée \(Im(z)\)

Définition

Soit \(z=a+ib\) et \(z’=c+id\) deux nombres complexes on définit les deux opérations addition et multiplication :

\(z+z’=(a+c)+i(b+d)\)

\(z\times z’=(ac-bd)+i(ad+bc)\)

On vérifie que ces deux opérations sont associatives, communatives que la multiplication est distributive par rapport à l’addition.

Propriété

identités remarquables complexes

  • \({(a+ib)}^2=a^2+2iab-b^2\)
  • \({(a-ib)}^2=a^2-2iab-b^2\)
  • \((a+ib)\times(a-ib)=a^2+b^2\)

 

2. Représentation géométrique

definition
\begin{minipage}{7.5cm}
Dans le plan muni d’un repère orthonormé \((O\,;\,\overrightarrow{u}\,;\,\overrightarrow{v})\) :
\begin{description}
\item[$\bullet\)]à tout complexe \(z=a+ib$ avec \(a$ et \(b\) deux réels, on associe le point $M(a;b)\) et le vecteur \(\overrightarrow{w}(a;b)\).

\item[\(\bullet$]Réciproquement à tout point $M(a;b)$ et vecteur $\overrightarrow{w}(a;b)$ du plan on associe le nombre complexe $z=a+ib\).
On dit que le point $M$ et le vecteur ont pour \textbf{affixe} $z\).

\end{description}Le plan est alors appelé plan complexe.
\end{minipage}\hspace{1ex}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{asy}
import graph_pi;

size(4.5cm);
scale(false);
marker croix1=marker(scale(2.5)*cross(4),1bp+0.6red);
real xmin=-2, xmax=3, ymin=-3, ymax=2;
grid(xmin, xmax, ymin, ymax,
xStep=1, xstep=2,
yStep=1, ystep=2,
pTick=.5bp+0.7gray, ptick=0.7gray,
above=false
);
draw((xmin,0)–(xmax,0)^^(0,ymin)–(0,ymax),
1bp+0.7blue);

draw(Label(« $\overrightarrow{u}$ »,EndPoint,SE),(0,0)–(1,0),0.2grey+1.5bp,arrow=Arrow(HookHead(dir=20),8bp,Fill));
draw(Label(« $\overrightarrow{v}$ »,MidPoint,W),(0,0)–(0,1),0.2grey+1.5bp,arrow=Arrow(HookHead(dir=20),8bp,Fill));
draw(Label(« $\overrightarrow{w}$ »,MidPoint,SW),(0,0)–(3,-2),0.6red+1bp,arrow=Arrow(HookHead(dir=20),8bp,Fill));
draw(« $M$ »,(3,-2),SE,0.6red,croix1);
//shipout(bbox(2mm,Fill(white)));
\end{asy}
\end{minipage}

\end{definition}

\begin{remarques}
\begin{description}
\item[$\color{blue}{\bullet}$] Si $b=0$ alors $z=a$ d’où $z$ est un réel, le point $M$ d’affixe $z$ appartient à l’axe des abscisses.
\item[$\color{blue}{\bullet}$]Si $a=0$ alors $z=ib$ on dit que $z$ est un imaginiare pur, le point $M$ d’affixe $z$ appartient à l’axe des ordonnées.
\item[$\color{blue}{\bullet}$] L’axe des abscisses est appellé \textbf{axe des réels} et l’axe des oordonnées est appellé \textbf{axe des imaginairs purs}.

\end{description}

\end{remarques}

\begin{propriete}
Soit les points $A$ et $B$ d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$ alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$.
\end{propriete}

\section{Conjugué d’un complexe}

\begin{definition}
On appelle \textbf{conjugué} du nombre complexe $z=a+ib$ le nombre $\overline{z}=a-ib$.
\end{definition}

\begin{exemples}~

$\overline{3-2i}=3+2i$ \hfill $\overline{5+i}=5-i$\hfill $\overline{3}=3$\hfill $\overline{i}=-i$
\end{exemples}

\begin{propriete}[lien entre conjugué et parties réelle et imaginaire] \begin{multicols}{2}
\begin{description}
\item[$\bullet$]$Re(z)=\frac{1}{2}(z+\overline{z})$
\item[$\bullet$]$Im(z)=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})$
\end{description}
\end{multicols}
\end{propriete}

\begin{demonstration}~

soit $z$ un nombre complexe $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ deux réels on a :\begin{multicols}{2}
\begin{description}
\item[]$
\begin{array}{l}
z+ \overline{z} = a+ib + a-ib\\
z+ \overline{z} = 2 a\\
z+ \overline{z} = 2 Re(z)\\
Re(z) =\frac{1}{2}(z+\overline{z})
\end{array}
$
\item[]$\begin{array}{l}
z- \overline{z} = a+ib -( a-ib)\\
z \overline{z} = 2 ib\\
z- \overline{z} = 2i Im(z)\\
Im(z) =\frac{1}{2i}(z-\overline{z})
\end{array}
$
\end{description}\end{multicols}
\end{demonstration}

\begin{propriete}[Propriétés des conjugués] \begin{multicols}{2}
\begin{description}
\item[$\bullet$]$\overline{\overline{z}}=z$
\item[$\bullet$]$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
\item[$\bullet$]$\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\ \, \overline{z_2}$
\item[$\bullet$]$\overline{z^n}=\overline{z}^n$
\item[$\bullet$]$\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}$
\item[$\bullet$]$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$

\end{description}
\end{multicols}
\end{propriete}

\begin{remarques}
Le produit $z\overline{z}$ est un réel positif, en effet $z\overline{z}=a^2+b^2$
\end{remarques}

\begin{propriete}
\begin{multicols}{2}
\begin{description}
\item[$\bullet$] $z$ est un réel $\Longleftrightarrow z=\overline{z}$
\item[$\bullet$]$z$ est un imaginaire pur $\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$
\end{description}
\end{multicols}
\end{propriete}

\begin{remarques}~

\begin{description}
\item[$\color{blue}{\bullet}$] Pour démontrer qu’un nombre complexe $z$ est réel, on peut calculer son conjugué $\overline{z}$ et vérifier qu’il est égal à $z$.
\item[$\color{blue}{\bullet}$]Obtenir la forme algébrique d’une nombre complexe non-nul à l’aide de son conjugué :

\[\frac{1}{2+i}=\frac{1}{2+i}\times\frac{2-i}{2-i}=\frac{2+i}{4+1}=\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i\]

\end{description}
\end{remarques}

\section{Équations du second degré dans $\mathbb{C}$}
\begin{theoreme}
Soit l’équation du second degré $az^2+bz+c=0$ avec $a\neq 0$, $b$ et $c$ des réels.

Cette équation admet toujours des solutions dans l’ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$

À l’aide de son discriminant $\Delta=b^2-4ac$, on distingue trois cas :
\begin{description}
\item[$\bullet$]Si $\Delta=0$, il existe une unique solution $z=-\frac{b}{2a}$.
\item[$\bullet$]Si $\Delta>0$, il existe deux solutions réelles $z=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.
\item[$\bullet$] Si $\Delta<0$, il existe deux solutions complexes conjuguées $z=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
\end{description}
\end{theoreme}

\begin{demonstration}~

On utilise la forme cannonique vu en classe de première $az^2+bz+c=a\left[{(z+\frac{b}{2a})}^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]$
\begin{description}
\item[$\color{\resultcolor}{\bullet}$] Pour les deux premiers cas $\Delta=0$ et $\Delta>0$ ont retrouve les cas vus en première.

\item[$\color{\resultcolor}{\bullet}$] si $\Delta<0$, on a $-\Delta >0$ d’où $\Delta={(i\sqrt{-\Delta)}}^2$.On utilise la forme cannonique

${\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta}{4a^2}={\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{(i\sqrt{-\Delta)}}{2a}\right)}^2=
\left(z+\frac{b- i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)\left(z+\frac{b+ i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)$.
On en déduit les deux solutions de l’équation du second degré $az^2+bz+c=0$ dans ce cas.
\end{description}
\end{demonstration}

%%%%%%%%%Exemples%%%%%%%%

On consid̬re lՎquation $z^2-z+1=0$ on a $\Delta=-3$.

Les solutions sont donc $z_1=\frac{1- i\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$.

De plus on a pour tout $z\,\in\, \mathbb{C}$, $z^2-z+1=\left(z+\frac{-1+ i\sqrt{3}}{2}\right)\left(z+\frac{-1- i\sqrt{3}}{2}\right)$
\chapter{Nombres Complexes 2}

\section{Forme trigonométrique d’un nombre complexe non-nul}

\subsection{Module d’un nombre complexe}

\begin{definition}
Le module du complexe $z$ d’écriture algébrique $a+\mathrm{i}b$ est le réel positif noté $|z|$ tel que
\[|z|=\sqrt{z\ \,\overline{z}}= \sqrt{a^2+b^2}\]

autrement dit $|z|^2=z\ \,\overline{z}$.
\end{definition}

\begin{remarque}
Si $a$ est un réel, $|a|=\sqrt{a\ \,\overline{a}}=\sqrt{a^2}=|a|$ donc le module de $a$ est bien la valeur absolue de $a$ et
la notation utilisée pour le module est cohérente.

La notion de module dans $\mathbb{C}$ généralise donc celle de valeur absolue dans $\mathbb{R}$.
\end{remarque}

\textbf{Propriétés du module}
\medskip

\begin{propriete}[] \begin{multicols}{2}
\begin{description}
\item[$\bullet$] $|\overline{z}|=|z|$
\item[$\bullet$] $|z|=0 $ si et seulement si $z=0$
\item[$\bullet$] $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$
\item[$\bullet$] $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ avec $z_2\neq 0$

\end{description}\end{multicols}
\end{propriete}

\textbf{Interprétation géométrique}
\medskip

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{e_2})$, on considère le point $M$
d’affixe $z$ d’écriture algébrique $a+\mathrm{i}b$

On a $|z|= \sqrt{a^2+b^2}$ qui n’est autre que la norme du vecteur $\overrightarrow{OM}$ c’est-à-dire la distance $OM$.

\begin{center}
\includegraphics{/home/akbida/archives/varoquaux_2008_2009/2nd/Figures/figuresTS/limfonc-36.pdf}
\end{center}

\subsection{Argument d’un nombre complexe}

\begin{definition}

Dans le plan complexe d’un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{e_2})$, soit $z$ un nombre complexe non-nul et $M$ le point du plan d’affixe $z$.

On appelle argument de $z$, noté $\arg z$, toute mesure en radians de l’angle de vecteur $(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{OM})$
\end{definition}

\begin{center}
\includegraphics{/home/akbida/archives/varoquaux_2008_2009/2nd/Figures/figuresTS/limfonc-37.pdf}
\end{center}

\begin{remarque}
Un nombre complexe non-nul a une infinité d’argument, si $\theta$ est un argument de $z$ alors $\theta + 2k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
est aussi un argument de $z$.

\end{remarque}

\subsection{Forme trigonométrique}

La donnée d’un réel positif $r$ et d’un angle $\theta$ permet de définir un unique point $M$ d’affixe $z\neq 0$ du plan complexe tel que
$OM=r$ et $(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{OM})=\theta$.

On en déduit que $z= r(\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta)$

\begin{definition}
Soit $z$ un nombre complexe non-nul. L’écriture $z= r(\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta)$
avec $r= |z|$ et $\theta = \arg z$ est appelée une forme trigonométrique de $z$. \end{definition}

\subsection{Passage forme algébrique $\Leftrightarrow$ forme trigonométrique}

Soit $z\in \mathbb{C}$ de forme algébrique $a+\mathrm{i} b$ et de forme
trigonométrique $r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$ alors on a d’une part~:

\begin{propriete}[forme algébrique connaissant la forme trigonométrique] $a=r\cos\theta$ et $b=r\sin\theta$.
\end{propriete}

et d’autre part $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Si $z$ est \textit{non nul}, son module $r=\sqrt{a^2+b^2}$ sera non nul
également. Ainsi, on peut écrire $z$ sous la forme :

\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{center}

$\begin{array}{lll}
z&=& \sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\mathrm{i}\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
z &=& r(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\mathrm{i}\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})\\
z &=& r(\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta))
\end{array}$
\end{center}

On en déduit

\begin{propriete}[forme trigonométrique en fonction de la forme algébrique] $\cos(\theta)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\sin(\theta)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
\end{propriete}

Ainsi, connaissant $a$ et $b$, on peut obtenir le module et un argument
de $a+\mathrm{i} b$. On obtiendra une mesure exacte de $\theta$ si
$\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$ sont des valeurs connues comme
$\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 1, etc.

Sinon, on obtiendra une valeur approchée à l’aide de la calculcatrice.

\subsection{Opération sur les formes trigonométriques}

Soit $z=r(\cos\theta+\mathrm{i} \sin\theta)$ et $z’=r'(\cos\theta’+\mathrm{i} \sin\theta’)$, alors
$$zz’=rr'(\cos\theta\cos\theta’-\sin\theta\sin\theta’)+\mathrm{i} (\sin\theta\cos\theta’+\cos\theta\sin\theta’)$$

On reconnaît les formules d’addition, donc on en déduit :
$$zz’=z=rr'(\cos(\theta+\theta’)+\mathrm{i} \sin(\theta+\theta)’)$$

on a donc

\begin{propriete}[argument d’un produit] $\arg(zz’)=\arg(z)+\arg(z’) \,[2\pi]$
\end{propriete}

On peut démontrer les propriétés suivantes :

\begin{propriete}[Propriétés algébriques des arguments] \begin{multicols}{2}
\begin{description}
\item[$\bullet$] $\arg(z^n)=n\arg(z)\,[2\pi]$
\medskip

\item[$\bullet$] $\arg\left( \frac{1}{z}\right) =-\arg(z)\,[2\pi]$
\medskip

\item[$\bullet$] $\arg\left( \frac{z}{z’}\right) =\arg(z)-\arg(z’)\,[2\pi]$
\medskip

\item[$\bullet$] $\arg(\overline{z})=-\arg(z)\,[2\pi]$
\item[$\bullet$] $\arg(-z)=\pi+\arg(z)\,[2\pi]$
\end{description}
\end{multicols}
\end{propriete}

En particulier, la formule concernant $z^n$ on peut écrire

\begin{theoreme}[Formule de Moivre Hors-Programme] \begin{center}
${\left( \cos \theta+\mathrm{i}\sin\theta\right) }^n= \cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)$
\end{center}
\end{theoreme}

\begin{remarque}
\begin{itemize}
\item Les formes trigonométriques sont adaptés aux produits de
complexes~;
\item Les formes algébriques sont adaptées aux sommes de complexes.
\end{itemize}
\end{remarque}

\section{Forme Exponentielle}

Soit $f$ la fonction $f\, :\,\theta \mapsto \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta$ avec $\theta$ un nombre réel.

Le nombre complexe $f(\theta)$ est le nombre complexe de module 1 et d’argument $\theta$.

Le nombre complexe $f(\theta+\theta’)=\cos (\theta+\theta’ )+ \mathrm{i} \sin (\theta+\theta’)$ a pour module 1 et pour argument
$\theta+\theta’$.

Or le nombre $f(\theta)\times f(\theta’)$ a aussi pour module 1 et pour argument $\theta+\theta’$

car, pour $z_{1}$ et $z_{2}$ deux nombres complexes non nuls, on a
$\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|~\text{et arg}\left(z_{1}z_{2}\right) = \text{arg}\left(z_{1}) + \text{arg}(z_{2}\right)$.

On en déduit que $f(\theta+\theta’)=f(\theta)\times f(\theta’)$ de plus $f(0)=1$.

La fonction $f$ ainsi définie vérifie les propriétés de la fonction exponentielle, ce qui mène à la notation suivante :

\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta\]

\begin{propriete}
Tout nombre complexe non nul de module $r$ et d’argument $\theta$ peut s’écrire :

\[z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \mbox{ ou } z=r(cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta),\]

et réciproquement, tout nombre complexe qui s’écrit :

\[z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \mbox{ ou } z=r(cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta),\]

avec $r$ un réel strictement positif, a pour module $r$ et pour argument $\theta+ 2k\pi \quad (k\in \mathbb{Z}).$

\end{propriete}

La forme exponentielle complexe possède des propriétés analogues à la fonction exponentielle réelle.

\begin{propriete}
Soit $r$ et $r’$ des réels strictement positifs, $\theta$ et $\theta’$ des réels quelconques.
\begin{enumerate}
\item $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\times r’\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta’}=rr’\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta’)}$,
\item $\frac{1}{r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}=\frac{1}{r}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$,
\item $\frac{r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{r’\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta’}}=\frac{r}{r’}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta-\theta’)}$.
\end{enumerate}

\end{propriete}

C’est Leonhard Euler (1707-1783) qui donnera cette relation qui à la remarquable propriété de relier les grandes branches
des mathématiques l’analyse, l’algèbre et la géométrie.

\begin{propriete}[Formules d’EULER] Pour tout nombre réel $\theta$, on a:
\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta, \mbox{ d’où } \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}=\cos \theta – \mathrm{i} \sin \theta.\] En particulier
\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-1\]

\end{propriete}

\textbf{\textit{Exemples :}} $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}=\cos\left( \frac{5\pi}{6}\right) +\mathrm{i}\sin\left( \frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i} $

On en déduit par addition et soustraction des égalités précédentes les résultats suivants.
\begin{propriete}
\[\cos \theta =\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2} \quad
\sin \theta =\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}\] \end{propriete}

\section{Applications en géométrie}
Dans le plan complexe d’un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$, on considère
les points $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points deux à deux distincts d’affixes respectivement $z_A$, $z_B$,$z_C$ et $z_D$.

On a les relations suivantes :

\begin{theoreme}
\begin{enumerate}
\item $(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{AB})=\arg(z_B-z_A)=$
\item $AB=|z_B-z_A|$
\item $(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD})=\arg\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right) $
\item $\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} =r \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ si et seulement si $\arg\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right)=\theta [2\pi]$
et $\frac{CD}{AB}=r$
\end{enumerate}

\end{theoreme}

\begin{demonstration}
\vspace{ 5 cm}

\end{demonstration}

\section{Cercle trigonométrique et angles remarquables}
\begin{center}
\includegraphics{/home/akbida/archives/varoquaux_2008_2009/2nd/Figures/figuresAlice/cercleTrigo-1.pdf}
\end{center}
\end{document}